これまでの発信件数はどこから確認できますか？発信件数としてカウントされるためには何か条件がありますか？

Amazon Connectの履歴メトリクスでカウント（集計）を確認できます。カウントされるために特別な設定は必要ありません。
Your Connectで受けた場合、Amazon Connectのソフトフォン（標準CCP）で受けた場合どちらも関係なく集計されます。

また、履歴メトリクスの「対応した発信問合せ」の項目で発信件数がカウントされますが、カウントされるキューはYour Connectで発信時に選択したキューとなります。
標準CCPを利用した場合はAmazon Connectのユーザーに設定している「ルーティングプロファイル」の「デフォルトのアウトバウンドキュー」でカウントされます。